k94ks6

nを自然数とし， $I_n=\int_1^e(\log x)^ndx$ とおく．
(1) $I_{n+1}$ を $I_n$ を用いて表せ．
(2)すべてのnに対して， $\frac{e-1}{n+1}\leq I_n\leq\frac{(n+1)e+1}{(n+1)(n+2)}$ が成り立つことを示せ．

(1)
$I_{n+1}=[x(\log x)^{n+1}]_1^e-\int_1^e(n+1)(\log x)^ndx=e-(n+1)I_n$ ．
(2)
$I_n<\int_1^e\frac1x(\log x)^ndx=[\frac1{n+1}(\log x)^{n+1}]_1^e=\frac1{n+1}\leq1$ なので
$I_n=\frac{e-I_{n+1}}{n+1}\geq\frac{e-1}{n+1}$ ．
$I_n=\frac{e-I_{n+1}}{n+1}=\frac{e-\frac{e-I_{n+2}}{n+2}}{n+1}=\frac{(n+1)e+I_{n+2}}{(n+1)(n+2)}\leq\frac{(n+1)e+1}{(n+1)(n+2)}$ ．

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最終更新：2013年10月13日 10:06

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