10s1

3辺の長さがaとbとcの直方体を，長さがbの一辺を回転軸として90°回転させるとき，
直方体が通過する点全体がつくる立体をVとする．
(1) Vの体積をa,b,cを用いて表せ．
(2) a+b+c=1のとき，Vの体積のとりうる値の範囲を求めよ．

(1)
$b\left\{ac+\frac{\pi}4(a^2+c^2)\right\}$
(2)
a+c=x,|a-c|=yとおくと，0≦y<x<1であり，体積V(x,y)は
$V(x,y)=(1-x)\left\{\frac{x^{2}-y^{2}}{4}+\frac{\pi}{8}(x^{2}+y^{2})\right\}$ なので
$V(x,y)<V(x,x)=\frac{\pi(1-x)x^{2}}{4}\leq\pi\left\{\frac{(1-x)+\frac x2+\frac x2}3\right\}^3=\frac{\pi}{27}$ (等号成立は $x=\frac23$ )
$V(x,y)\geq V(x,0)>0$
V(x,y)はx,yの連続関数であるから，求める範囲は $0<V<\frac{\pi}{27}$

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最終更新：2014年02月22日 19:25

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