大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

k95s1

行列\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}で表される1次変換をfとする．平面上の1点をP,原点をOとする．\vec{OP}のfによる像を\vec{OQ}，x軸に垂直で点Qを通る直線とx軸の交点をRとする．点PがOに一致しない範囲を動くとき，
\frac{|\vec{OR}|}{|\vec{OP}|}の最大値が2，\frac{|\vec{OQ}|}{|\vec{OP}|}の最大値と最小値の比が3
となるようにa,bの値を定めよ．
\vec{OQ}={ax+by\choose ay}，\vec{OR}={ax+by\choose 0}であるから，
(\frac{|\vec{OR}|}{|\vec{OP}|})^2=\frac{(ax+by)^2}{x^2+y^2}\leq a^2+b^2であり，
(x,y)=(ak,bk)のとき等号は成立するので最大値は\sqrt{a^2+b^2}．
これが2^2に等しいのでa^2+b^2=4．

(\frac{|\vec{OQ}|}{|\vec{OP}|})^2=\frac{(ax+by)^2+(ay)^2}{x^2+y^2}．
これの最小値をm，最大値をMとする．M=9mである．
ここで，a=0と仮定すると，(x,y)=(1,0)とするとOQ=0となるからm=0となり最大値と最小値の比が3にならない．
従ってa≠0．
\frac1{a^2}\begin{pmatrix}a&-b\\0&a\end{pmatrix}で表される1次変換をgとすると，gはfの逆変換なので，
(\frac{|\vec{OP}|}{|\vec{OQ}|})^2=\frac1{a^4}\frac{(ax-by)^2+(ay)^2}{x^2+y^2}．
これの最大値は\frac1{m}であり\frac{M}{a^4}でもあるから，M=3a^2．

y=0のとき，(\frac{|\vec{OQ}|}{|\vec{OP}|})^2=a^2であるから，これは最大にならない．
従って，y≠0でこれを最大とするような(x,y)が存在する．
y≠0のときt=\frac{ax}yとおくと，
(\frac{|\vec{OQ}|}{|\vec{OP}|})^2=\frac{(t+b)^2+a^2}{(\frac{t}{a})^2+1}\leq 3a^2．
これより(t+b)^2+a^2\leq3(t^2+a^2)つまり2t^2-2bt-b^2+2a^2\geq0．
等号が成立するtが存在することから，(左辺)=0をtについての二次方程式とみなし，判別式をDとおくとD=0．
つまり，0=\frac D4=b^2-2(-b^2+2a^2)=3b^2-4a^2．
12=3(a^2+b^2)=7a^2よりa=\pm\frac{2\sqrt{21}}7，b=\pm\frac{4\sqrt7}{7}(複号任意)．
「k95s1」をウィキ内検索
最終更新：2014年01月24日 08:55