大学入試数学過去問
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k95s2

a,bはa>bをみたす自然数とし，p,dは素数でp>2とする．このとき，a^p-b^p=dであるならば，dを2pで割った余りが1であることを示せ．
d=(a-b)(a^{p-1}+a^{p-2}b+\cdots+b^{p-1})であり，これが素数なのでa-b=1．
これよりd=(b+1)^p-b^p=\sum_{k=1}^{p-1}{p\choose k}b^k+1．
ここで，1≦k≦p-1のとき{p\choose k}=\frac pk{p-1\choose k-1}であり，pはkと互いに素なので{p\choose k}はpの倍数．
つまり，dをpで割った余りは1．
これより，dを2pで割った余りは1かp+1である．
ここで，b+1とbは偶奇が異なるので，(b+1)^pとb^pも偶奇が異なる．従ってdは奇数であるから，dを2pで割った余りはp+1(p>2なのでこれは偶数)にはならない．
よって示された．
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最終更新：2013年10月13日 12:52