k95s3

xy平面上の2曲線
$C_1:y=x^3$ ， $C_2:y=ax^2+bx+c$
が相異なる3点で交わり，かつそれらの点で $C_1$ に接する3直線が1点P=(p,q)で交わるとする．このとき，
(1) $a=\frac32p,b=0,c=-\frac12q$ であることを示せ．
(2)p,qのみたす条件を求めよ．

(1)
x座標がtの $C_1$ 上の点における接線の式は $y=3t^2(x-t)+t^3$ であり，
これが点Pを通るとき(x,y)=(p,q)を代入して整理すると $t^3-\frac32pt^2+\frac q2=0$ ．
これらの接点のx座標は $C_1$ と $C_2$ の交点のx座標であるから，この解は $x^3-(ax^2+bx+c)=0$ の解に一致する．
係数を比較して $a=\frac32p,b=0,c=-\frac12q$ ．
(2)
$t^3-\frac32pt^2+\frac q2=0$ が相異なる3実解を持つ条件が求める条件である．
$f(t)=t^3-\frac32pt^2$ とおくと， $f&#039;(t)=3t^2-3pt$ よりf(t)はt=0,pで極値をとる．
f(0)=0， $f(p)=-\frac{p^3}2$ であるから，
p>0のとき $-\frac{p^3}2<-\frac q2<0$ つまり $0&lt;q&lt;p^3$ ，
p<0のとき $0<-\frac q2<-\frac{p^3}2$ つまり $p^3&lt;q&lt;0$ ．

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最終更新：2013年10月13日 13:17

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