大学入試数学過去問
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k95s4

xとyの2文字からなる文字列z_nを次の規則(イ)，(ロ)で順次定めていく．
(イ) z_1= xとおく．
(ロ) z_nの中に現れるすべてのxをyxで，すべてのyをxxで置き換えてできる文字列をz_{n+1}とする(n=1,2,3…)．
例えば，z_2=yx,z_3=xxyx,z_4=yxyxxxyxである．2次の正方行列A,Bに対して，z_nの中のxをAで，yをBで置き換え，行列の積を作ってできる行列をC_nとする．例えばC_1=A,C_2=BA,C_3=AABA(行列の積)である．
A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}，B=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}のとき，n≧3ならばC_n=\begin{pmatrix}-1&1\\0&1\end{pmatrix}であることを示せ．
ここで，C_3=AABA=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&-1\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&1\\0&1\end{pmatrix}，
BABA=\begin{pmatrix}-1&-1\\0&1\end{pmatrix}^2=E，
C_3C_3=\begin{pmatrix}-1&1\\0&1\end{pmatrix}^2=E．
z_{n+2}はz_nの中に現れる全てのxをxxyxで，全てのyをyxyxで置き換えてできる文字列である．
従ってC_{n+2}はz_nの中に現れる全てのxをC_3で，全てのyをEで置き換えて行列の積を作ったものに等しい．
置き換える操作によりxの個数の偶奇は不変なのでz_nの中にはxは奇数個しか出現しない．
これよりkを適当な奇数としてC_{n+2}=C_3^k=C_3なので示された．
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最終更新：2013年10月13日 14:33