大学入試数学過去問
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k95s6

深さhの容器がある．底は半径a(>0)の円板，側面はx=f(y),0≦y≦hのグラフをy軸のまわりに回転したものである．ただしf(y)は正の連続関数でf(0)=aとする．この容器に単位時間当りV（一定）の割合で水を入れたとき，T時間後に一杯になり，しかもt(<T)時間後の水面の面積はVt+\pi a^2であった．
関数f(y)を決定し，Tを求めよ．
水面の高さがyになる時間をt(y)とおく．t(0)=0，t(h)=Tである．
水面の高さがyになったときに入っている水の量を考えるとVt(y)=\int_0^y (Vt(s)+\pi a^2)ds．
両辺yで微分してVで割るとt&#039;(y)=t(y)+\frac{\pi a^2}Vであるから，これを解いてt(y)=Ce^y-\frac{\pi a^2}V(C:積分定数)．
t(0)=0よりt(y)=\frac{\pi a^2}V(e^y-1)．
高さyのときの水面の面積は\pi\{f(y)\}^2であるから
\pi\{f(y)\}^2=Vt+\pi a^2=\pi a^2e^yよりf(y)=ae^{\frac y2}．
また，T=t(h)=\frac{\pi a^2}V(e^h-1)．
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最終更新：2013年10月15日 07:08