大学入試数学過去問
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k95ks1

自然数nに対して，x^nをx^2+ax+bで割った余りをr_nx+s_nとする．次の2条件(イ),(ロ)を考える．
(イ)x^2+ax+b=(x-\alpha)(x-\beta),α>β>0と表せる．
(ロ)すべての自然数nに対してr_n<r_{n+1}が成り立つ．
(1) (イ)，(ロ)がみたされるとき，すべての自然数nに対して
\beta-1<(\frac\alpha\beta)^n(\alpha-1)
が成り立つことを示せ．
(2)実数a,bがどのような範囲にあるとき(イ)，(ロ)がみたされるか．必要十分条件を求め，点(a,b)の存在する範囲を図示せよ．
(1)
(イ)よりx^n=(x-\alpha)(x-\beta)P(x)+r_nx+s_n(P(x)はxの多項式)と書けるので，
\alpha^n=r_n\alpha+s_n，\beta^n=r_n\beta+s_n．
これより，\alpha^n-\beta^n=r_n(\alpha-\beta)…(*)．
α>βかつr_n<r_{n+1}より\alpha^n-\beta^n<\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}．
両辺\alpha^n(>0)で割って整理すると\beta-1<(\frac\alpha\beta)^n(\alpha-1)．
(2)
f(x)=x^2+ax+bとする．
f(x)=0が相違2実解を持つ必要十分条件はa^2-4b>0．
f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(α>β)とおく．
このとき，β>0の必要十分条件はy=f(x)のグラフの頂点のx座標(-\frac a2)が正であり，かつf(0)>0であること．
すなわちa<0かつb>0．
α<1のとき，-1&lt;\beta-1&lt;(\frac\alpha\beta)^n(\alpha-1)\to-\infty(n→∞)より不適であるから，α≧1が必要．
(*)よりr_n=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}であるから，
r_{n+1}-\alpha r_n=\frac{(\alpha-\beta)\beta^{n-1}}{\alpha-\beta}&gt;0
これより\alpha\geq1のときr_{n+1}&gt; r_nが成り立つので十分．
よってα≧1が(イ)が満たされるときの(ロ)の必要十分条件であるが，
これはy=x^2+ax+bのグラフの頂点のx座標が1以上のときか，f(1)≦0のときである．
つまり，a<-2またはa+b+1≦0．
以上よりa<-2のとき0&lt;b&lt;\frac{a^2}4，-2≦a<1のとき，0<b<-a-1．(図省略)
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最終更新：2013年10月15日 09:40