大学入試数学過去問
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k95ks2

Oを中心とする円周上に相異なる3点A_0,B_0,C_0が時計回りの順に置かれている．自然数nに対し，点A_n,B_n,C_nを次の規則で定めていく．
(イ)A_nは弧A_{n-1}B_{n-1}を2等分する点である．(ここで，弧A_{n-1}B_{n-1}は他の点C_{n-1}を含まない方を考える．以下においても同様である．)
(ロ)B_nは弧B_{n-1}C_{n-1}を2等分する点である．
(ハ)C_nは弧C_{n-1}A_{n-1}を2等分する点である．
∠A_nOB_nの大きさを\alpha_nとする．ただし，∠A_nOB_nは点C_nを含まないほうの弧A_nB_nの中心角を表す．
(1) すべての自然数nに対して4\alpha_{n+1}-2\alpha_n+\alpha_{n-1}=2\piであることを示せ．
(2) すべての自然数nに対して\alpha_{n+2}=\frac34\pi-\frac18\alpha_{n-1}であることを示せ．
(3) \alpha_{3n}を\alpha_0で表せ．
(1)
\alpha_nと同様に\beta_n,\gamma_nを∠B_nOC_n，∠C_nOA_nの大きさとする．
\alpha_n+\beta_n+\gamma_n=2\piであり，
\alpha_{n+1}=∠A_{n+1}OB_{n+1}=∠A_{n+1}OB_n+∠B_nOB_{n+1}=\frac12∠A_nOB_n+\frac12∠B_nOC_n=\frac12(\alpha_{n}+\beta_{n})…①，
同様に\beta_n=\frac12(\beta_{n-1}+\gamma_{n-1})=\pi-\frac{\alpha_{n-1}}2…②．
①×4+②×2より4\alpha_{n+1}=2\alpha_n-\alpha_{n-1}+2\piより示すべき式を得る．
(2)
(1)の式および(1)の式のnにn+1を代入したものから\alpha_n,\alpha_{n-1}を消去すれば示すべき式を得る．
(3)
(2)より\alpha_{3n}-\frac23\pi=-\frac18(\alpha_{3(n-1)}-\frac23\pi)であるから，
\alpha_{3n}=\frac23\pi+(-\frac18)^n(\alpha_0-\frac23\pi)．
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最終更新：2013年10月15日 13:41