10s2

(1) すべての自然数kに対して，次の不等式を示せ．
$\frac1{2(k+1)}<\int\nolimits_{0}^{1}\frac{1-x}{k+x}dx<\frac1{2k}$
(2) m>nであるようなすべての自然数mとnに対して，次の不等式を示せ．
$\frac{m-n}{2(m+1)(n+1)}<\log\frac mn-\sum_{k=n+1}^{m}\frac1k<\frac{m-n}{2mn}$

(1)
$\frac1{2(k+1)}=\frac1{k+1}\int\nolimits_{0}^{1}(1-x)dx<\int\nolimits_{0}^{1}\frac{1-x}{k+x}dx<\frac1{k}\int\nolimits_{0}^{1}(1-x)dx=\frac1{2k}$
(2)
$\int\nolimits_{0}^{1}\frac{1-x}{k+x}dx=(k+1)\log\frac{k+1}{k}-1$ であるから，
(1)より
$\frac1{2(k+1)(k+2)}<\frac1{2(k+1)^2}<\log\frac{k+1}k-\frac1{k+1}<\frac1{2k(k+1)}$
k=nからm-1まで足して示すべき不等式を得る．

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最終更新：2011年10月21日 13:06

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