k95ks5

AとBの2人が次のようなゲームを行う．nを自然数とし，Aはそれぞれ0,1,2,…,nと書かれた(n+1)枚の札をもっている．Bはそれぞれ1,2,…,nと書かれたn枚の札をもっているとする．第1回目にBがAの持札から1枚の札をとり，もし番号が一致する札があればその2枚の札をその場に捨てる．番号が一致しない札はそのまま持ち続ける．次にBに持札があればAがBの持札から1枚の札をとり，Bと同じことをする．こうして先に札のなくなったほうを勝ちとする．Aが勝つ確率を $p_n$ ，Bが勝つ確率を $q_n$ とする．ただし相手の札をとるとき，どの札も等しい確率でとるものとする．
(1) $p_1$ , $p_2$ , $q_1$ , $q_2$ を求めよ．
(2) $p_n+q_n=1$ ， $(n+2)p_n-np_{n-2}=1$ ，(n=3,4,5,…)であることを示せ．
(3) $p_n$ を求めよ．

(1)
(i)n=1のとき
BがAから0と書かれた札を取る場合，その確率は $\frac12$ であり，その後A,Bが勝つ確率はそれぞれ $q_1,p_1$ である．
BがAから1と書かれた札を取る場合，その確率は $\frac12$ であり，このときBの勝ち．
従って， $p_1=\frac12q_1$ ， $q_1=\frac12p_1+\frac12$ であるから $p_1=\frac13$ ， $q_1=\frac23$ ．
(ii)n=2のとき
BがAから0と書かれた札を取る場合，その確率は $\frac13$ であり，その後A,Bが勝つ確率はそれぞれ $q_2,p_2$ である．
BがAから1か2と書かれた札を取る場合，その確率は $\frac23$ であり，次にAがBの札をとったときにBは札がなくなるのでBの勝ち．
従って， $p_2=\frac13q_1$ ， $q_2=\frac13p_2+\frac23$ であるから $p_2=\frac14$ ， $q_2=\frac34$ ．
(2)
n≧3とする．
BがAから0と書かれた札を取る場合，その確率は $\frac1{n+1}$ であり，その後A,Bが勝つ確率はそれぞれ $q_{n}$ ， $p_{n}$ ．
BがAから1からnのいずれかが書かれた札を取る場合，その確率は $\frac n{n+1}$ であり，その後AはBから1からnまでのいずれかをとるので，A,Bが勝つ確率はそれぞれ $p_{n-2}$ ， $q_{n-2}$ である．
従って， $p_n=\frac1{n+1}q_n+\frac n{n+1}p_{n-2}$ ， $q_n=\frac1{n+1}p_n+\frac n{n+1}q_{n-2}$ …①．
両辺加えて $p_n+q_n=\frac1{n+1}(p_n+q_n)+\frac n{n+1}(p_{n-2}+q_{n-2})$ であるから， $p_n+q_n=p_{n-2}+q_{n-2}$ ．
ここで，(1)より $p_1+q_1=p_2+q_2=1$ であるから， $p_n+q_n=1$ (この式はn<3でも成り立つ)．
$q_n=1-p_n$ を①に代入して整理すると $(n+2)p_n-np_{n-2}=1$ …②．
(3)
②より $(n+2)p_n=np_{n-2}+1=(n-2)p_{n-4}+2=\cdots=\begin{case}\frac{n+1}2 &(n:odd)\\\frac n2&(n:even)\end{case}$ ．
これより， $p_n=\begin{case}\frac{n+1}{2(n+2)} &(n:odd)\\\frac {n}{2(n+2)}&(n:even)\end{case}$ ．

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最終更新：2013年10月15日 19:17

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