k95ks6 - 大学入試数学過去問

曲線C:(x>0)，3点A=(a,0)，R=(4,0)，Q=(0,2)を考える．ただし0<a<4とする．点AからCに接線をひき，そのy軸との交点をB，原点をOとする．
(1)直線RQが接線と第一象限の点M，で交わるための必要十分条件を求めよ．
設問(1)の条件がみたされているのき，四角形OAMQの面積をT，△ARMの面積を，△BQMの面積をとすうりゅ
(2)，とおくとき，点(r,m)の存在する範囲を図示せよ．

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(1)
座標平面上の点(x,y)をに移す一次変換を考える．
これによりCはCに移り，Aは(2,0)，Rは，Qは(0,a)に移る．
は(2,0)を通るCの接線，すなわちx+y=1に移るので，Bは(0,2)へ移る．
この変換でMの存在する象限は変化しないのでこのときのMの変換先が第一象限にあることが求める条件．
これはQのy座標がBのy座標より小さいことと同値．つまりa<2．
(2)
△QORの面積は4であるから，．
(1)の変換で面積が変化しないことを考えると△OABの面積は△OABの変換先の三角形の面積つまり2に等しい．
従って．これより．
これらよりなので，であるから2<r<6．
また，．
従って(2<r<6)が求める範囲(図省略)．