k96ks1

nは自然数とする．
(1)すべての実数θに対し
$\cos n\theta=f_n(\cos\theta)$ , $\sin n\theta=g_n(\cos\theta)\sin\theta$ ,
をみたし，係数がともにすべて整数であるn次式 $f_n(x)$ とn-1次式 $g_n(x)$ が存在することを示せ．
(2) $f&#039;_n(x)=ng_n(x)$ であることを示せ．
(3)pを3以上の素数とするとき， $f_p(x)$ のp-1次以下の係数はすべてpで割り切れることを示せ．

(1)
ド・モアブルの定理より
$\cos n\theta =\text{Re}((\cos \theta+i\sin \theta)^n)$
$=\sum_{k=0}^{[\frac n2]}{n\choose 2k}\cos^{n-2k}\theta(i\sin\theta)^2k$
$=\sum_{k=0}^{[\frac n2]}{n\choose 2k}\cos^{n-2k}\theta(\cos^2\theta-1)^k$ …(*)．
各項はすべてcosθの整数係数n次式であり，各項のn次の係数は全て正なので総和もcosθの整数係数n次式．
従って $\cos n\theta=f_n(\cos\theta)$ をみたし，係数がともにすべて整数であるn次式 $f_n(x)$ が存在する．
また，
$\sin n\theta =\text{Im}((\cos \theta+i\sin \theta)^n)$
$=\sum_{k=0}^{[\frac{n-1}2]}{n\choose 2k}\cos^{n-2k-1}\theta(i\sin\theta)^{2k}\sin\theta$
$=\sin\theta\sum_{k=0}^{[\frac{n-1}2]}{n\choose 2k}\cos^{n-2k-1}\theta(\cos^2\theta-1)^k$
であり，総和の各項はすべてcosθの整数係数n-1次式であり，cosθの最高次の係数は全て正なので総和もcosθの整数係数n-1次式．
従って $\sin n\theta=g_n(\cos\theta)\sin\theta$ ,をみたし，係数がともにすべて整数であるn-1次式 $g_n(x)$ が存在する．
(2)
$f_n(\cos\theta)=\cos n\theta$ をθで微分して
$f'_n(\cos\theta)(-\sin\theta)=-n\sin n\theta=-ng_n(\cos\theta)\sin\theta$ である．
0<θ<πのときsinθ>0なので $f'_n(\cos\theta)=ng_n(\cos\theta)$ ．
これより-1<x<1で $f&#039;_n(x)=ng_n(x)$ であるが，-1<x<1にはn+1個以上の相異なる点があるのでこれが成り立つのは全領域で $f&#039;_n(x)=ng_n(x)$ のとき．
(3)
(*)より $f_p(x)=x^p+\sum_{k=1}^{[\frac p2]}{p\choose 2k}x^{p-2k}\theta(x^2-1)^k$ となるが，
pは3以上の素数なので奇数となるから， $1\leq k\leq [\frac p2]$ のとき ${p\choose2k}=\frac p{2k}{p-1\choose 2k-1}$ はpの倍数となる．これより $f_p(x)$ のp-1次以下の係数は全てpで割り切れる．

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最終更新：2013年10月18日 06:14

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