大学入試数学過去問
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10s3

2つの箱LとR，ボール30個，コイン投げで表と裏が等確率\frac12で出るコイン1枚を用意する．xを0以上30以下の整数とする．Lにx個，Rに30-x個のボールを入れ，次の操作(#)を繰り返す．
(#) 箱Lに入っているボールの個数をzとする．コインを投げ，表が出れば箱Rから箱Lに，裏が出れば箱Lから箱Rに，K(z)個のボールを移す．ただし，0≦z≦15のときK(z)=z, 16≦z≦30のときK(z)=30-zとする．
m回の操作の後，箱Lのボールの個数が30である確率をP_{m}(x)とする．たとえばP_{1}(15)=P_{2}(15)=\frac12となる．以下の問(1),(2),(3)に答えよ．
(1) m≧2のとき，xに対してうまくyを選び，P_{m}(x)をP_{m-1}(y)で表せ．
(2) nを自然数とするとき，P_{2n}(10)を求めよ．
(3) nを自然数とするとき，P_{4n}(6)を求めよ．
(1)
(#)によってボールはmin{z,30-z}だけ移動するので，
一度空になるともうボールが入れられることはない．つまりP_m(0)=0．
Lにx個のボールがあるとする．
x≦15のとき
P_m(x)=\frac12P_m(2x)
x>15のとき
P_m(x)=\frac12+\frac12P_m(2x-30)
(2)
P_{2(n+1)}(10)=\frac12P_{2n+1}(20)=\frac14+\frac14P_{2n}(10)
P_0(10)=0よりP_{2n}=\frac13\left(1-\frac1{4^{n}}\right)
(3)
P_{4(n+1)}(6)=\frac12P_{4n+3}(12)=\frac14P_{4n+2}(24)=\frac18+\frac18P_{4n+1}(18)=\frac3{16}+\frac1{16}P_{4n}(6)
P_0(6)=0よりP_{4n}=\frac15\left(1-\frac1{16^n}\right)
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最終更新：2011年10月21日 13:44