k70s1

xの関数f(x)のグラフy=f(x)上の点(a,f(a))における接戦が，点(c,0)を通り，a≠cであるものとする．このとき関数 $g(x)=\frac{f(x)}{x-c}$ のx=aにおける微分係数を求めよ．

接線があることよりf'(a)が定義できる．
これより $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ であるから， $\lim_{x\to a}g(x)=g(a)$ ．
また，接線の式はy+f(a)=f'(a)(x-a)であり，(c,0)を通るので代入してf(a)=f'(a)(c-a)．よってg(a)=f'(a)．
$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{(x-c)g(x)-(a-c)g(a)}{x-a}=g(x)+(a-c)\frac{g(x)-g(a)}{x-a}$
であり，a≠cより，求める微分係数は
$\lim_{x\to a}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}=\lim_{x\to a}\frac1{a-c}(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-g(x))=\frac1{a-c}(f'(a)-g(a))=0$ ．

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最終更新：2014年01月25日 09:50

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