大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

13s4

△ABCにおいて∠BAC=90°，|\vec{AB}|=1，|\vec{AC}|=\sqrt3とする．△ABCの内部の点Pが
\frac{\vec{PA}}{|\vec{PA}|}+\frac{\vec{PB}}{|\vec{PB}|}+\frac{\vec{PC}}{|\vec{PC}|}=\vec0
を満たすとする．
(1)∠APB，∠APCを求めよ．
(2)|\vec{PA}|，|\vec{PB}|，|\vec{PC}|を求めよ．
(1)
\frac{\vec{PA}}{|\vec{PA}|}+\frac{\vec{PB}}{|\vec{PB}|}=-\frac{\vec{PC}}{|\vec{PC}|}の両辺の絶対値の二乗をとると，
2+2\frac{\vec{PA}}{|\vec{PA}|}\cdot\frac{\vec{PB}}{|\vec{PB}|}=1であり，
\frac{\vec{PA}}{|\vec{PA}|}\cdot\frac{\vec{PB}}{|\vec{PB}|}=cos∠APBなので
cos∠APB=-\frac12，つまり∠APB=120°．同様に∠APC=120°．
(2)
BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=2，∠ABC=60°．
△ABCをBを中心に60°回転させたものを△DBEとおく．ただし，DがBC上にあるように三角形をとるとする．
また，点PをBを中心に同じ方向に60°回転させたものを点Qとおく．
∠PBQ=60°，BP=BQより△BPQは正三角形．よって∠BPQ=∠BQP=60°．
∠APB=∠BQE=120°であるから，P,QはAE上にある．
これより∠PAB=∠BAE，∠APB=120°=∠ABEであるから△APB∽△ABE．同様に△BQEで∽△ABE．
△ABEについて余弦定理よりAE=\sqrt{AB^2+BE^2+AB\cdot BE}=\sqrt7．
したがって
|\vec{PA}|=AB\cdot\frac{AB}{AE}=\frac{\sqrt7}7，
|\vec{PC}|=QE=BE\cdot\frac{BE}{AE}=\frac{4\sqrt7}7，
|\vec{PB}|=PQ=AE-AP-QE=\frac{2\sqrt7}7．

(2)別解
a=|\vec{PA}|, b=|\vec{PB}|, c=|\vec{PC}|とおく．
△ABP,△BCP,△CAPについて余弦定理より
a^2+ab+b^2=1 …①
b^2+bc+c^2=4 …②
c^2+ca+a^2=3 …③

(その1)
②-①より3=c^2-a^2+(c-a)b=(c-a)(a+b+c)．
a+b+c=\frac1kとおくとc-a=3k．
②-③より同様にb-a=k．
①+③-②より2a^2+ba+ca-bc=0だから3a^2=(b-a)(c-a)=3k^2．
a,k>0よりa=kだからb=2a,c=4a．
\frac1a=a+2a+4a=7aよりa=\frac{\sqrt7}7，b=\frac{2\sqrt7}7，c=\frac{4\sqrt7}7．

(その2)
△ABCの面積=△ABPの面積+△BCPの面積+△CAPの面積であるから
\frac{\sqrt3}2=\frac12(ab+bc+ca)\sin120^{\circ}よりab+bc+ca=2．
①+②+③より2(a^2+b^2+c^2)+(ab+bc+ca)=8だからa^2+b^2+c^2=3．
③と比較してb^2=ac …④．
また，(a+b+c)^2=(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)=7であり
a+b+c>0よりa+b+c=\sqrt7．
④を①に代入してa(a+b+c)=1よりa=\frac{\sqrt7}7．
④を②に代入してc(a+b+c)=4よりc=\frac{4\sqrt7}7．
b=\sqrt7-a-c=\frac{2\sqrt7}7．
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最終更新：2014年02月24日 12:32