xy平面において，x座標，y座標ともに整数であるような点を格子点と呼ぶ．格子点を頂点にもつ三角形ABCを考える．
(1)辺AB，ACそれぞれの上に両端を除いて奇数個の格子点があるとすると，辺BC上にも両端を除いて奇数個の格子点があることを示せ．
(2)辺AB，AC上に両端を除いて丁度3点ずつ格子点が存在するとすると，三角形ABCの面積は8で割り切れる整数であることを示せ．
線分上の格子点の数は両端を除いて数えるものとする．
両端が格子点であるような線分PQを考える．
PQの中点をMとおく．線分PM上の格子点Rに対し，
となるよう点Sをとるとこれは線分MQ上の格子点である．
これより，(線分PM上の格子点の数)≦(線分MQ上の格子点の数)．
同様に逆向きの不等号も成立するから線分PM上の格子点の数と線分MQ上の格子点の数は等しい．
したがってPQ上に格子点が奇数個あることとMが格子点であることは同値である．
(1)
BCの中点は
と書けるが，
AB,AC上にそれぞれ奇数個の格子点があるとき，AB,ACの中点，Aがそれぞれ格子点であることから右辺の成分はいずれも整数．
したがってBCの中点も格子点となる．つまりBC上にも格子点が奇数個ある．
(2)
AB上には格子点が3個あるので中点も格子点，この中点とAの中点(ABを1:3に内分する点)Dも格子点となる．
同様に，ACを1:3に内分する点Eも格子点である．
,
とおくと，k,l,m,nは整数で，△ADEの面積は
となる．
△ABCの面積は△ADEの面積の16倍なので，△ABCの面積は
となるがこれは8の倍数である．
最終更新：2014年01月28日 00:05
