大学入試数学過去問
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92s3

a,bを正の実数とする．座標空間の4点P(0,0,0), Q(a,0,0), R(0,1,0), S(0,1,b)が半径1の同一球面上にあるとき，P,Q,R,Sを頂点とする四面体に内接する球の半径をrとすれば，次の二つの不等式が成り立つことを示せ．
(\frac1r-\frac1a-\frac1b)^2\geq\frac{20}3, \frac1r\geq2\sqrt{\frac23}+2\sqrt{\frac53}．
四面体PQRSの外接球の中心TはPQ，PR，RSの垂直二等分面上にあるのでT(\frac a2,\frac12,\frac b2)．
1=PT^2=\frac14(1+a^2+b^2)であるから，a^2+b^2=3．
相加平均と相乗平均の関係よりab\leq \frac{a^2+b^2}2=\frac32．
四面体PQRSの体積Vを考える．
三角形PQRと線分RSが垂直なのでV=\frac{ab}6．
また，△PQR，△QRS，△RSP，△SPQを底面とし，高さrの三角錐4つに分解して考えると，
V=\frac r3(\frac a2+\frac{b\sqrt{1+a^2}}2+\frac b2+\frac{a\sqrt{1+b^2}}2)．
したがって
(\frac1r-\frac1a-\frac1b)^2
=(\frac{\sqrt{1+a^2}}a+\frac{\sqrt{1+b^2}}b)^2
\geq4\frac{\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}}{ab}
=4\sqrt{\frac4{a^2b^2}+1}}
\geq \frac{20}3．
等号成立はa=b=\sqrt{\frac32}のとき．
これより，
\frac1r\geq\frac1a+\frac1b+2\sqrt{\frac53}\geq2\sqrt{\frac1{ab}}+2\sqrt{\frac53}\geq2\sqrt{\frac23}+2\sqrt{\frac53}．
これも等号成立はa=b=\sqrt{\frac32}のとき．
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最終更新：2014年01月28日 15:54