大学入試数学過去問
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91s5

xy平面上，x座標，y座標がともに整数であるような点(m,n)を格子点とよぶ．
各格子点を中心として半径rの円がえがかれており，傾き\frac25の任意の直線はこれらの円のどれかと共有点をもつという．
このような性質をもつ実数rの最小値を求めよ．
傾き\frac25の直線は2x-5y+a=0と書ける．
この直線と格子点(m,n)との距離はd=\frac{|2m-5n+a|}{\sqrt{29}}である．
ここでa=\frac12のとき任意のm,nに対し|2m-5n+a|\geq\frac12であるから，
求めるrの最小値は\frac1{2\sqrt{29}}以上である．
さて，任意の整数kについて，kが偶数のとき(m,n)=(\frac k2,0)，奇数のとき(\frac{k+5}2,1)とおけばk=2m-5yと表せる．
これより，2m-5n=-[a],-[a]-1のいずれかとなるようm,nをとれば，任意のaに対し|2m-5n+a|\leq\frac12とすることができる．
したがって，求めるrの最小値は\frac1{2\sqrt{29}}以下となる．
これらより求めるrの最小値は\frac1{2\sqrt{29}}となる．
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最終更新：2014年01月28日 16:34