自然数m≧2に対し，m-1個の二項係数
を考え，これらすべての最大公約数を
とする．
すなわち
はこれらすべてを割り切る最大の自然数である．
(1) mが素数ならば，
であることを示せ．
(2) すべての自然数kに対し，
が
で割り切れることを，
kに関する数学的帰納法によって示せ．
(3) mが偶数のとき
は1または2であることを示せ．
(1)
であり，mとnは互いに素なので
はmを約数にもつ．
ここで，
なのでmは最大公約数である．すなわち
．
(2)
k=0のとき，確かに成立する．
k=nのときの成立を仮定する．
二項定理より
…(*)であるから，
も割り切れる．
よってすべてのkについて
は
で割り切れる．
(3)
(*)にn=-1を代入して
左辺は
で割り切れるので右辺も
で割り切れるが，
このとき
は2の約数となるので1か2である．
最終更新：2011年10月21日 14:50
