大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

90s1

a_n=\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt k}, b_n=\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt{2k+1}}とするとき，
\lim_{n\to\infty}a_n, \lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}を求めよ．
\frac1{\sqrt k}>\frac2{\sqrt k+\sqrt{k+1}}=2(\sqrt{k+1}-\sqrt k)．
したがってa_n>2\sum_{k=1}^n(\sqrt{k+1}-\sqrt k)=2(\sqrt{n+1}-1)\to\infty 　 (n\to\infty)であるから
\lim_{n\to\infty}a_n=\infty．
b_n<\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt{2k}}=\frac{a_n}{\sqrt2}より\frac{b_n}{a_n}<\frac1{\sqrt2}．
b_n>\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt{2k+2}}=\frac{a_{n+1}-1}{\sqrt2}より
\frac{b_n}{a_n}>\frac1{\sqrt2}(1+\frac1{a_n}(\frac1{\sqrt{n+1}}-1))\to\frac1{\sqrt2} 　 (n\to\infty)．
これらよりはさみうちの原理から\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=\frac1{\sqrt2}．
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最終更新：2014年01月30日 13:17