3次関数h(x)=px^3+qx^2+rx+sは，次の条件(i),(ii)をみたすものとする．
(i) h(1)=1,h(-1)=-1．
(ii) 区間-1<x<1で極大値1,極小値-1をとる．
このとき，
(1) h(x)を求めよ．
(2) 3次関数f(x)=ax^3+bx^2+cx+dが区間-1<x<1で-1<f(x)<1をみたすとき，|x|>1なる任意の実数xに対して不等式|f(x)|<|h(x)|が成立することを証明せよ．
(1)
極大値と極小値が異符号で絶対値が等しいので，y=h(x)のグラフの対称の中心の座標は(t,0)とおける．
このとき，t>0と仮定するとh(-1+2t)=-h(1)=-1，h'(-1+2t)=-h'(1)≠0よりx=-1+2tはh(x)+1=0の重解でない解となるが，
h(x)+1=0はh(x)が極小をとるxで重解，x=1でも解となるので解が4つ以上となり3次関数であることに反する．
したがってt≦0であり，同様にt≧0もいえるのでt=0．よってh(0)=0．
さて，x=uでh(x)が極小となるとすると，
と書ける．
x=0,1を代入して
，
よりp=4,
であるから
．
(2)
h(-1)=-1≦f(-1)，
，
，h(1)=1≧f(1)であるから，
中間値の定理よりy=h(x)とy=f(x)は-1≦x≦1で3個以上の共有点を持つ．
ここで，h(x)-f(x)=0は高々3個の実数解しか持たないので，これらの共有点は交点であり，|x|>1でh(x)=f(x)とはならない．
h(-1)=f(-1)と仮定すると
でh(x)>f(x)よりx<-1でh(x)<f(x)，h(-1)<f(-1)と仮定するとx<-1のときh(x)<f(x)．
したがってx<-1のときh(x)<f(x)．同様にx>1のとき，h(x)>f(x)．
h(x)を-h(x)に変えても同様の議論が成り立ち，x<-1のとき-h(x)>f(x)，x>1のとき-h(x)<f(x)．
以上を合わせて|x|>1で|f(x)|<|h(x)|．
最終更新：2014年01月30日 14:28
