大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

07k1

xy平面の曲線C:xy^2=4上に1点P_0(x_0,y_0) (y_0>0)をとる．P_0におけるCの接線とCの共有点のうち，P_0と異なるものをP_1(x_1,y_1)とする．またP_1におけるCの接線とCの共有点のうち，P_1と異なるものをP_2(x_2,y_2)とする．次の問に答えよ．
(1)P_1, P_2の座標をy_0を用いて表せ．
(2)△P_0P_1P_2の面積をTとし，線分P_0P_1，P_1P_2および曲線Cで囲まれた領域の面積をSとする．\frac TSの値を求めよ．
(3)∠P_0P_1P_2が直角となるようなy_0の値を求めよ．
(4)前問(3)で求めたy_0に対し，△P_0P_1P_2の外接円の面積を求めよ．
(1)
P_0におけるCの接線をx=ay+bとおく．これとCの式を連立させた(ay+b)y^2-4=0を考える．
左辺はyの3次の係数がaで根はy_0(重根)，y_1なので，a(y-y_0)^2(y-y_1)に等しい．
yの1次の係数を比較して0=a(2y_0y_1+y_0^2)つまりy_1=-\frac{y_0}2．よってx_1=\frac4{y_1^2}=\frac{16}{y_0^2}．
同様にy_2=-\frac{y_1}2=\frac{y_0}4，x_2=\frac4{y_2^2}=\frac{64}{y_0^2}．
(2)
線分P_0P_1の中点をMとすると，M(\frac{10}{y_0^2},\frac{y_0}4)．
△P_0MP_2の面積は\frac12(x_2-\frac{10}{y_0^2})(y_0-y_2)=\frac{81}{2y_0}，
△P_1MP_2の面積は\frac12(x_2-\frac{10}{y_0^2})(y_2-y_1)=\frac{81}{2y_0}．
これよりT=\frac{81}{2y_0}+\frac{81}{2y_0}=\frac{81}{y_0}．
また，P_0M，P_2MとCで囲まれた部分の面積は
\int_{y_2}^{y_0}\frac4{y^2}dy-\frac12(x_0+\frac{10}{y_0^2})(y_0-y_2)
=\frac{12}{y_0}-\frac{21}{4y_0}
=\frac{27}{4y_0}．
したがってS=\frac{27}{4y_0}+\frac{81}{2y_0}=\frac{27\cdot7}{4y_0}
これらより\frac TS=\frac{12}7．
(3)
\vec{P_1P_0}=(-3x_0,\frac32y_0)，\vec{P_1P_2}=(12x_0,\frac34y_0)．
∠P_0P_1P_2が直角のとき
0=\vec{P_1P_0}\cdot\vec{P_1P_2}=-36x_0+\frac9{16}y_0^2=\frac9{16y_0^2}(y_0^4-4^4)=\frac9{16y_0^2}(y_0-4)(y_0+4)(y_0^2+4^2)．
y_0>0なのでy_0=4．
(4)
y_0=4のときx_0=\frac4{y_0^2}=\frac14．
∠P_0P_1P_2が直角になるので，外接円の直径はP_0P_2に等しい．
\vec{P_0P_2}=(15x_0,-\frac34y_0)=(\frac{15}4,-3)なのでP_0P_2^2=\frac{15^2}{4^2}+ 3^2=\frac{369}{16}．
したがって求める外接円の面積は\frac{\pi}4P_0P_2^2=\frac{369\pi}{64}．
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最終更新：2014年02月05日 08:52