09s2

実数を成分にもつ行列 $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ と実数r,s
が下の条件(i),(ii),(iii)をみたすとする．
(i) s>1
(ii) $A\begin{pmatrix}r\\1\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}r\\1\end{pmatrix}$
(iii) $A^{n}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}$
(n=1,2,…)とするとき， $\lim_{n\to\infty}x_{n}=\lim_{n\to\infty}y_{n}=0$
このとき以下の問に答えよ．
(1) $B=\begin{pmatrix}1&r\\0&1\end{pmatrix}^{-1}A\begin{pmatrix}1&r\\0&1\end{pmatrix}$ をa,c,r,sを用いて表せ．
(2) $B^{n}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}z_{n}\\w_{n}\end{pmatrix}$ (n=1,2,…)とするとき， $\lim_{n\to\infty}z_{n}=\lim_{n\to\infty}w_{n}=0$ を示せ．
(3) c=0かつ|a|<1を示せ．

(1)
$B=\begin{pmatrix}1&r\\0&1\end{pmatrix}^{-1}A\begin{pmatrix}1&r\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-r\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&sr\\c&s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a-cr&0\\c&s\end{pmatrix}$
(2)
$\begin{pmatrix}z_{n}\\w_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&r\\0&1\end{pmatrix}^{-1}A^{n}\begin{pmatrix}1&r\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&r\\0&1\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ ( $n\to\infty$ )
(3)
$\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}=c\begin{pmatrix}r\\1\end{pmatrix}+(a-cr)\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$
両辺に左から $A^{n}$ をかけて
$\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}=cs^{n}\begin{pmatrix}r\\1\end{pmatrix}+(a-cr)\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}$
これより $cs^{n}=y_{n+1}-(a-cr)y_{n}\to0$ ( $n\to\infty$ )であり，s>1なのでc=0．
また，このとき $x_{n+1}=ax_{n}$ なので $x_{n}=a^{n}$ であるが，
$\lim_{n\to\infty}x_{n}=0$ より|a|<1．

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最終更新：2011年10月21日 15:14

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