大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

08s5

自然数nに対し，\frac{10^n-1}9=\overbrace{111\ldots111}を\fbox{n}で表す．
たとえば\fbox{1}=1,\fbox{2}=11,\fbox{3}=111である．
(1) mを0以上の整数とする．\fbox{3^m}は3^mで割り切れるが，3^{m+1}では割り切れないことを示せ．
(2) nが27で割り切れることが，\fbox{n}が27で割り切れるための必要十分条件であることを示せ．
(1)
\fbox{3n}=(10^{2n}+10^n+1)\fbox{n}\equiv3\fbox{n} (mod 9)なので，
\fbox{3n}が3^{k+1}で割り切れる⇔\fbox{n}が3^kで割り切れる．
ここで\fbox{3^0}=1は3^0=1で割り切れるが3^1=3では割り切れないので示された．
(2)
\fbox{n}=\sum_{k=0}^{n-1}10^k\equiv n (mod 9)なので，
\fbox{n}が9で割り切れる⇔nが9で割り切れる．
よって
\fbox{n}が27で割り切れる
⇔nが9で割り切れ，かつ\fbox{\frac n3}が9で割り切れる
⇔nが9で割り切れ，かつ\frac n3が9で割り切れる
⇔nが27で割り切れる．
よって示された．
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最終更新：2011年10月23日 14:07