08s4

放物線 $y=x^2$ 上に2点P,Qがある．線分PQの中点のy座標をhとする．
(1) 線分PQの長さLと傾きmで，hを表わせ．
(2) Lを固定したとき，hがとりうる値の最小値を求めよ．

(1)
P $(a,a^2)$ Q $(b,b^2)$ とおく．
PQを斜辺とする直角三角形を考えると $|a-b|\sqrt{m^2+1}=L$ ．
$m=\frac{a^2-b^2}{a-b}=a+b$ ．
$h=\frac12(a^2+b^2)=\frac14\left(m^2+\frac{L^2}{m^2+1}\right)$ ．
(2)
$h=\frac14\left\{(m^2+1)+\frac{L^2}{m^2+1}\right\}-\frac14\geq\frac L2-\frac14$
等号成立は $m^2+1=L$ のときであるから，
1≦Lのとき，最小値 $\frac L2-\frac14$ ．
0<L<1のとき， $\frac{dh}{d(m^2)}=\frac14\left(1-\frac{L^2}{(m^2+1)^2}\right)>0$ なので
hは単調増加．よって最小値は $\frac{L^2}4$ ．

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最終更新：2011年10月22日 05:55

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