06s1

Oを原点とする座標平面上の4点 $P_1$ , $P_2$ , $P_3$ , $P_4$ で，条件
$\vec{OP_{n-1}}+\vec{OP_{n+1}}=\frac32\vec{OP_{n}}$ (n=2,3)
を満たすものを考える．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) $P_1$ , $P_2$ が曲線xy=1上にあるとき， $P_3$ はこの曲線上にはないことを示せ．
(2) $P_1$ , $P_2$ , $P_3$ が円周 $x^2+y^2=1$ 上にあるとき， $P_4$ もこの円周上にあることを示せ．

(1)
$P_1$ , $P_3$ が曲線xy=1上にあるとき， $P_2$ がこの曲線上にないことを示せば良い．
$P_i \left(x_i,\frac1{x_i}\right)$ (i=1,3)とすると，
$P_2 \left(\frac{2(x_1+x_3)}3,\frac{2(x_1+x_3)}{3x_1x_3}\right)$ であるが，
$\frac{2(x_1+x_3)}3\frac{2(x_1+x_3)}{3x_1x_3}=\frac{16}9+\frac{4(x_1-x_3)^2}{9x_1x_3}>1$
より $P_2$ はxy=1上にはない．
(2)
$|\vec{OP_4}|^2=\left|\frac32\vec{OP_3}-\vec{OP_2}\right|^2=\left(\frac32\right)^2+1-3\vec{OP_2}\cdot\vec{OP_3}=\left|\frac32\vec{OP_2}-\vec{OP_3}\right|^2=|\vec{OP_1}|^2=1$ より示された．

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最終更新：2011年10月22日 06:40

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