大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

08s1

座標平面の点(x,y)を(3x+y,-2x)へ移す移動fを考え、点Pの移る行き先をf(P)と表す。fを用いて直線l_0，l_1，l_2，･･･ を以下のように定める。
  • l_0は直線3x+2y=1である。
  • 点Pがl_n上を動くとき、f(P)が描く直線をl_{n+1}とする(n=0,1,2,…)。
以下l_nを1次式を用いてa_nx+b_ny=1と表す。
(1) a_{n+1}，b_{n+1}をa_{n}，b_{n}で表せ。
(2) 不等式a_nx+b_ny>1が定める領域をD_nとする。D_0，D_1，D_2，･･･ すべてに含まれるような点の範囲を図示せよ。
(1)
l_nはa_{n+1}(3x+y)+b_{n+1}(-2x)=1とも表せるので，a_nx+b_ny=1と係数を比較して
(3a_{n+1}-2b_{n+1},a_{n+1})=(a_n,b_n)つまり，(a_{n+1},b_{n+1})=\left(b_n, \frac{3b_n-a_n}2\right).
(2)
y=-2x上の点はfによって移動しない．この直線とl_0との交点(-1,2)は不動点なので全てのnに対しl_n上にある．
ここで，(1)よりb_{n+2}-\frac32b_{n+1}+\frac{b_n}2=0．b_0=2,b_1=\frac{3b_0-a_0}2=\frac32なので
b_n=1+\frac1{2^n}
従って直線l_nの傾きc_nは
c_n=-\frac{a_n}{b_n}=-\frac{1+2^{-n+1}}{1+2^{-n}}=-1-\frac1{2^n+1}となる．
これより-\frac32\leq c_n<-1であるから，求める領域は3x+2y>1かつx+y≧1．
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最終更新：2011年10月22日 21:54