大学入試数学過去問
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09s3

スイッチを1回押すごとに、赤、青、黄、白のいずれかの色の玉が1個、等確率\frac14で出てくる機械がある。2つの箱LとRを用意する。次の3種類の操作を考える。
(A)　1回スイッチを押し、出てきた玉をLに入れる。
(B)　1回スイッチを押し、出てきた玉をRに入れる。
(C)　1回スイッチを押し、出てきた玉と同じ色の玉が、Lになければその玉をLに入れ、Lにあればその玉をRに入れる。
(1) LとRは空であるとする。操作(A)を5回おこない、さらに操作(B)を5回おこなう。このときLにもRにも4色すべての玉が入っている確率P_1を求めよ。
(2) LとRは空であるとする。操作(C)を5回おこなう。このときLに4色すべての玉が入っている確率P_2を求めよ。
(3) LとRは空であるとする。操作(C)を10回行う。このときLにもRにも4色すべての玉が入っている確率をP_3とする。\frac{P_3}{P_1}を求めよ。
(1)
操作(A)を5回行なってLに4色すべての玉が入る確率は，ある色の玉が2個，他の玉が1個ずつ出る確率なので，この確率pは
p=_4C_1\cdot\frac{5!}{2!1!1!1!}\cdot\frac1{4^5}=\frac{15}{64}
操作(B)を5回行なってRに4色すべての玉が入る確率も同じなので，求める確率は
P_1=p^2={225}{4096}
(2)
P_2もpに等しい．すなわちP_2=\frac{15}{64}.
(3)
P_3は10回玉を出したときに，すべての玉がそれぞれ2回以上出る確率であるから，
P_3=\left(_4C_1\cdot\frac{10!}{4!2!2!2!}+_4C_2\cdot\frac{10!}{3!3!2!2!}\right)\frac1{4^{10}}=\frac{10!}{4^{12}}
よって\frac{P_3}{P_1}=\frac{63}{16}．
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最終更新：2011年10月23日 08:19