大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

09s5

(1) 実数xが-1<x<1，x≠0をみたすとき，次の不等式を示せ．
(1-x)^{1-\frac1x}&lt;(1+x)^{\frac1x}
(2) 次の不等式を示せ．
0.9999^101&lt;0.99&lt;0.9999^100
(1)
示すべき不等式は\left(1-\frac1x\right)\log(1-x)&lt;\frac1x\log(1+x)と同値．
f(x)=x{(左辺)-(右辺)}とおく．f(x)>0 (-1<x<0)，f(x)<0 (0<x<1)を示せばよい．
f&#039;(x)=\log(1-x)-1-\frac1{1+x}&lt;\log2-1-\frac1{1+x}&lt;0 よりf(x)は単調減少．
f(0)=(0-1)log(1-0)-log(1+0)=0 なので示すべきことが成立する．
(2)
(1)の不等式の両辺に(1-x)^{\frac1x}をかけて
1-x&lt;(1-x^2)^{\frac1x}．
x=0.01を代入して 0.99&lt;0.9999^{100}．
(1)の不等式の両辺に(1+x)^{1-\frac1x}をかけて
(1-x^2)^{1-\frac1x}&lt;1+x．
x=-0.01を代入して 0.9999^{101}&lt;0.99．
以上より示された．
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最終更新：2011年10月23日 12:26