大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

09s6

平面上の2 点P, Q の距離をd( P, Q)と表すことにする。平面上に点O を中心とする1 辺の長さが1000 の正三角形△A_1A_2A_3がある。△A_1A_2A_3の内部に3 点B_1 ,B_2 , B_3を, d( A_n , B_n ) = 1 ( n = 1, 2, 3) となるようにとる。また,
\vec{a_1} = \vec{A_1A_2} , \vec{a_2} = \vec{A_2A_3} , \vec{a_3} = \vec{A_3A_1}
\vec{e_1} = \vec{A_1B_1}, \vec{e_2} = \vec{A_2B_2} ,\vec{e_3} = \vec{A_3B_3}
とおく。n = 1, 2, 3のそれぞれに対して, 時刻0 にA_nを出発をし, \vec{e_n} の向きに速さ
1 で直進する点を考え, 時刻t におけるその位置をP_n( t )と表すことにする。
(1) ある時刻t でd( P_1( t ), P_2( t ) )≦1が成立した。ベクトル\vec{e_1} - \vec{e_2} と, ベクトル\vec{a_1} とのなす角度を\theta とおく。このとき|\sin\theta| \leq \frac1{1000} となることを示せ。
(2) 角度\theta_1 , \theta_2 , \theta_3を\theta_1 = ∠B_1A_1A_2 , \theta_2 =∠ B_2A_2A_3 , \theta_3 =∠B_3A_3A_1によって定義する。\alpha を0＜\alpha＜\frac\pi2 かつ\sin\alpha = \frac1{1000} を満たす実数とする。(1)と同じ仮定のもとで, \theta_1 + \theta_2の値のとる範囲を\alphaを用いて表せ。
(3) 時刻t_1 , t_2 , t_3のそれぞれにおいて, 次が成立した。
d( P_2( t_1 ), P_3( t_1 ) )\leq1 , d( P_3( t_2 ), P_1( t_2 ) )\leq1 , d( P_1( t_3 ), P_2( t_3 ) )\leq1
このとき, 時刻T = \frac{1000}{\sqrt{3}} において同時に
d( P_1(T ), O)\leq3, d( P_2(T ), O)\leq3 , d( P_3(T ), O)\leq3
が成立することを示せ。
(1)
1\geq|\vec{P_1P_2}|^2=|\vec{a_1}-t(\vec{e_1}-\vec{e_2})|^2
=|\vec{a_1}|^2-2t|\vec{e_1}-\vec{e_2}||\vec{a_1}|\cos\theta+t^2|\vec{e_1}-\vec{e_2}|^2
=(t^2|\vec{e_1}-\vec{e_2}|-|\vec{a_1}|\cos\theta)^2+|\vec{a_1}|^2(1-\cos^2\theta)
\geq|\vec{a_1}|^2\sin^2\thetaの両辺の平方根をとり|\vec{a_1}|=1000で割って求める不等式を得る．
(2)
\vec{e_1}+\vec{e_2}と\vec{e_1}-\vec{e_2}のなす角は\frac\pi2，
\vec{e_1}+\vec{e_2}と\vec{a_1}のなす角は\frac{\theta_1+\theta_2}2+\frac\pi3．
従って\vec{e_1}-\vec{e_2}と\vec{a_1}のなす角\thetaは\theta=\frac{\theta_1+\theta_2}2-\frac\pi6．
ここで-\alpha\leq\theta\leq\alphaより\frac\pi3-2\alpha\leq\theta_1+\theta_2\leq\frac\pi3+2\alpha．
(3)
(2)と同様にして
\frac\pi3-2\alpha\leq\theta_2+\theta_3\leq\frac\pi3+2\alpha,\frac\pi3-2\alpha\leq\theta_3+\theta_1\leq\frac\pi3+2\alpha．
この2式の辺々和を取ったものから(2)の結果を引くと
\frac\pi3-6\alpha\leq2\theta_3\leq\frac\pi3+6\alpha.
これより，∠OA_3P_3(T )=\phiとおくと\phi\leq3\alpha<4\alphaより
\sin\frac{\phi}2<\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha<2\sin\alphaであり，
d(P_3(T),O)=2\cdot\frac{1000}{\sqrt{3}}\sin\frac{\phi}2<\frac4{\sqrt{3}}<3．
同様にn=1,2のときも示される．
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最終更新：2011年10月23日 15:24