大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

97s2

nを正の整数，aを実数とする．すべての整数mに対して
m^2-(a-1)m+\frac{n^2}{2n+1}a>0
が成り立つようなaの範囲をnを用いて表せ．
左辺をf(m)とおく．
0<f(0)=\frac{n^2}{2n+1}aよりa>0．
0&lt;f(n)=\frac{n^2+n}{2n+1}(2n+1-a)よりa<2n+1．
よって0<a<2n+1が必要．
ここで，0<a<1のとき，-\frac12&lt;\frac{a-1}2&lt;0なので
f(m)\geq f(0)&gt;0となり題意を満たす．
また，1≦a<2n+1のとき，
f(m)\geq f\left(\frac{a-1}2\right)=\frac{n^2}{2n+1}a-\frac{(a-1)^2}4=\frac14\left(a-\frac1{2n+1}\right)(2n+1-a)&gt;0
より題意を満たす．
以上をまとめて0<a<2n+1．
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最終更新：2011年10月25日 22:09