大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

97s5

aを0<a<\frac14を満たす実数とする．xy平面で，不等式
y^2\leq x^2(1-x^2)-a
の表す領域をy軸のまわりに一回転してできる回転体の体積を求めよ．
この領域を-f(x)≦y≦f(x) とおく．
この領域のt<x<t+dtの部分をy軸のまわりに回転させた回転体の体積は4πtf(t)dtであるから，
求める体積VはV =\int\nolimits_p^q4\pi tf(t)dt．
ただし，p,qは0<p<q，f(p)=f(q)=0を満たす数．
V=2\pi\int\nolimits_{p^2}^{q^2}\sqrt{s(1-s)-a}ds
=2\pi\int\nolimits_{p^2}^{q^2}\sqrt{\left(\frac14-a\right)-\left(s-\frac12\right)^2}ds
=2\pi\int\nolimits_{0}^{\pi}\left(\frac14-a\right)\sin^2u du
=\pi^2\left(\frac14-a\right)．
「97s5」をウィキ内検索
最終更新：2011年10月27日 09:53