96s3 - 大学入試数学過去問

空間内の点Oを中心とする一辺の長さがlの立方体の頂点をとする．また，Oを中心とする半径rの球面をSとする．
(1) S上のすべての点からのうち少なくとも1点が見えるための必要十分条件をlとrで表せ．
(2) S上のすべての点からのうち少なくとも2点が見えるための必要十分条件をlとrで表せ．
ただし，S上の点Pからが見えるとは，がSの外側にあり，線分とSとの共有点がPのみであることとする．

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S上の点Xからが見える⇔点XにおけるSの接平面Pを考えたとき，はP上にあるか，Pに関してOと逆側にある．
(1)
Oを通り立方体のある面に垂直な直線とSの交点をBとおく．
Bから頂点の一つが見えるためにはが必要．
逆にこのとき，このような点以外の点XにおけるSの接平面Pを考えた時，
Pは立方体の面と交わるのでPに関して逆側にある2頂点が存在するから，
その頂点のどちらかはXから見える．
(2)
立方体の対角線とSの交点をCとおく．
Cから頂点2つが見えるためにはが必要．
逆にこの時，(1)よりS上の点Xから一つ頂点が見える．
この見える頂点を除いた7頂点から4点を正四面体となるように選ぶことができる．
Sはこの正四面体の内部にあるが，XにおけるSの接平面Pを考えた時，
Pは正四面体の面と交わるのでPに関して逆側にある2頂点が存在するから，
その頂点のどちらかもXから見える．