96s4

1つのサイコロを続けて投げて，それによって $a_n$ (n=1,2,…)を以下のように定める．
出た目の数を順に $c_1,c_2,\ldots$ とするとき，1≦k≦n-1を満たすすべての整数kに対し $c_k\leq c_n$ ならば $a_n=c_n$ ，それ以外のとき $a_n=0$ とおく．ただし， $a_1=c_1$ とする．
(1) $a_n$ の期待値をE(n)とするとき， $\lim_{n\to\infty}E(n)$ を求めよ．
(2) $a_1,a_2,\ldots,a_n$ のうち2に等しいものの個数の期待値をN(n)とするとき， $\lim_{n\to\infty}N(n)$ を求めよ．

(1)
$a_n=k$ (k>0)となる確率は $\left(\frac k6\right)^{n-1}\cdot\frac16$ であるから，
$E_n=\sum_{k=1}^6\left(\frac k6\right)^n\to1$ $(n\to\infty)$ ．
(2)
求める極限値をNとおく． $c_1$ の値に注意すると， $N=\frac16N+\frac16(N+1)+0$ ．
これより $N=\frac14$ ．

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最終更新：2011年10月27日 20:10

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