大学入試数学過去問
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95s4

Nを正の整数とする．Nの正の約数nに対し
f(n)=n+\frac Nn
とおく．このとき，次の各Nに対してf(n)の最小値を求めよ．
(1) N=2^k, ただしkは正の整数
(2) N=7!
m=\min\{n, \frac Nn\}とおく．
\sqrt N≧m>m'のとき，
f(m')-f(m)=(m-m')\left(\frac N{mm'}-1\right)>0
であるから，mが大きいほどf(n)は小さくなる．
(1)
(i) kが偶数のとき
m=2^{\frac k2}のとき最小値2^{\frac k2+1}をとる．
(i) kが奇数のとき
m=2^{\frac{k-1}2}のとき最小値3\cdot2^{\frac k2}をとる．
(2)
71^2>7!なので，m=70のとき最小値142をとる．
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最終更新：2011年10月27日 20:39