大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

95s5

サイコロをn回投げて，xy平面上の点P_0,P_1,\ldots,P_nを次の規則(a),(b)によって定める．
(a) $$P_0 = (0,0)
(b) 1≦k≦nのときに，k回目に出た目の数が1,2,3,4のときには，P_{k-1}をそれぞれ東，北，西，南に\left(\frac12\right)^kだけ動かした点をP_kとする．またk回目に出た目の数が5,6のときにはP_k=P_{k-1}とする．ただしy軸の正の向きを北と定める．
このとき以下の問いに答えよ．
(1) P_nがx軸上にあれば，P_0,P_1,\ldots,P_{n-1}もすべてx軸上にあることを示せ．
(2) P_nが第1象限{(x,y)|x>0,y>0}にある確率をnで示せ．
(1)
j<k<nとし，P_{j}がx軸上にあり，P_kがx軸上にないとして矛盾を導く．
P_kとx軸との距離は\left(\frac12\right)^kであり，
P_kからP_nまでに動く道のりは\sum_{m=k+1}^n\left(\frac12\right)^m=\left(\frac12\right)^k\left(1-\frac1{2^{n-k}}\right)&lt;\left(\frac12\right)^k
であるから，P_nがx軸上にないことになり矛盾．よって示された．
(2)
P_nがx軸上，y軸上にある確率はそれぞれ\left(\frac23\right)^n，原点にある確率は\left(\frac13\right)^nであるから，P_nがどちらかの軸上にない確率は1-2\left(\frac23\right)^n+\left(\frac13\right)^n．
第1,2,3,4象限のどこにあるのも等確率なので求める確率は\frac14\left\{1-2\left(\frac23\right)^n+\left(\frac13\right)^n\right\}．
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最終更新：2011年10月27日 20:58