95s6

原点をOとするxy平面上の双曲線
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (a>0,b>0)
上の点Pにおける接線と2つの漸近線との交点をQ,Rとする．このとき以下の問いに答えよ．
(1) 三角形OQRの面積Sは点Pのとり方にはよらず，a,bによって定まることを示せ．
(2) $a=5e^{2t}+e^{-t}, b=e^{2t}+e^{-t}$ として実数tを変化させるときのSの最小値を求めよ．

(1)
Pのx座標，y座標はどちらも0以上であるとしてよい．
(x,y)を $(\xi,\eta)=\left(\frac xa,\frac yb\right)$ に変換すると面積は $\frac1{ab}$ 倍になる．
更に $(\xi,\eta)$ を $(X,Y)=(\xi-\eta,\xi+\eta)$ に変換すると面積は2倍．
XY平面上での点Pの移動した先の点P'の座標を $\left(p,\frac1p\right)$ とする．
ここでXを ${\frac 1p}$ 倍，Yを $p$ 倍，する変換を考えると，
曲線XY=1はXY=1に移り，X軸はX軸にY軸はY軸に移り，P'は(1,1)に移り，面積は不変であるから，
$S=2\cdot\frac12\cdot ab=ab$ となり，Pのとりかたによらない．
(2)
$S=ab=5e^{4t}+6e^t+e^{-2t}$ であり，
$\frac{dS}{dt}=20e^{4t}+6e^t-2e^{-2t}$ ， $\frac{d^2S}{dt^2}>0$ より
$$\frac{dS}{dt}=0のときにSは最小．
このとき $(5e^{3t}-1)(2e^{3t}+1)=0$ なので $e^t=5^{\frac13}$ ．
$S=5\cdot5^{\frac43}+6\cdot5^{\frac13}+\cdot5^{-\frac23}=\frac{154\cdot5^{\frac13}}5$ ．

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最終更新：2011年10月27日 22:41

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