94s1

$f(x)=x^4+x^3+\frac12x^2+\frac16x+\frac1{24}$ $g(x)=x^5+x^4+\frac12x^3+\frac16x^2+\frac1{24}x+\frac1{120}$
とする．このとき，以下のことが成り立つことを示せ．
(1) 任意の実数xに対し，f(x)>0である．
(2) 方程式g(x)=0はただひとつの実数解 $\alpha$ をもち， $-1<\alpha<0$ となる．

(1)
$f(x)=x^2\left(x+\frac12\right)^2+\frac16\left(x+\frac12\right)^2+\frac5{12}x^2>0$ ．
(2)
$g(0)=\frac1{120}>0$ よりx=0はg(x)=0の解ではない．
$h(x)=1+x+\frac12x^2+\frac16x^3+\frac1{24}x^4+\frac1{120}x^5$ とおく．
$g(x)=x^5h\left(\frac1x\right)$ なので，h(x)=0がただ一つの実数解 $\frac1\alpha$ $(\frac1\alpha<-1)$ をもつことを示せば良い．
$h'(x)=x^4f\left(\frac1x\right)\geq0$ であるから広義単調増加．
$h(-1)=(1-1)+\left(\frac12-\frac16\right)+\left(\frac1{24}-\frac1{120}\right)>0$ ，
$h(x)\to-\infty$ $(x\to-\infty)$ なので，h(x)はx<-1の範囲にただ一つの実数解をもつ．よって示された．

「94s1」をウィキ内検索

最終更新：2011年10月27日 23:03

大学入試数学過去問

メニュー

リンク

他のサービス

更新履歴

94s1