94s2

$a=\sin^2\frac\pi5, b=\sin^2\frac{2\pi}5$ とおく．このとき，以下のことが成り立つことを示せ．
(1) a+bおよびabは有理数である．
(2) 任意の自然数nに対し $(a^{-n}+b^{-n})(a+b)^n$ は整数である．

(1)
$b=4\sin^2\frac\pi5\cos^2\frac\pi5=4a-4a^2$ ．
また， $\sin\frac\pi5=\sin\frac{4\pi}5$ であることから，同様に
$a=4b-4b^2$ ．
これらの差を取って $a+b=\frac54$ ．
これらの和を取って． $4(a^2+b^2)=3(a+b)=\frac{15}4$
よって $ab=\frac12\{(a+b)^2-(a^2+b^2)\}=\frac5{16}$ ．
以上より示された．
(2)
$f(n)=(a^{-n}+b^{-n})(a+b)^n$ とおく．
f(0)=2， $f(1)=\frac{(a+b)^2}{ab}=5$ は整数．
f(n+2)=f(n+1)f(1)-f(n)f(1)となるのですべてのnについてf(n)は整数．

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最終更新：2011年10月27日 23:50

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