大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

94s3

xyz空間において条件
x^2+y^2\leq z^2, z^2\leq x, 0\leq z\leq1
を満たす点P(x,y,z)の全体からなる立体を考える．この立体の体積をVとし，
0≦k≦1に対し，z軸と直交する平面z=kによる切り口の面積をS(k)とする．
(1) k=\cos\thetaとおくときS(k)を\thetaで表せ．ただし0\leq\theta\leq\frac\pi2とする．
(2) Vの値を求めよ．
(1)
切り口はx^2+y^2\leq k^2かつk^2\leq xなる領域の面積であるから，
S(k)=\theta\cos^2\theta-\cos^3\theta\sin\theta．
(2)
V=\int\nolimits_0^1S(k)dk=\int\nolimits_0^{\frac\pi2}\sin\theta(\theta\cos^2\theta-\cos^3\theta\sin\theta)d\theta．
\int\nolimits_0^{\frac\pi2}\theta\cos^2\theta\sin\theta d\theta =\left[-\theta\cdot\frac{\cos^3\theta}3\right]_0^{\frac\pi2}+\int\nolimits_0^{\frac\pi2}\frac{\cos^3\theta}3d\theta =\int\nolimits_0^{1}\frac{1-x^2}3dx =\left[x-\frac{x^3}9\right]_0^1=\frac89，
\int\nolimits_0^{\frac\pi2}\sin^2\theta\cos^3d\theta=\int\nolimits_0^1x^2(1-x^2)dx=\left[\frac{x^3}3-\frac{x^5}5\right]_0^1=\frac2{15}．
これらよりV=\frac89-\frac2{15}=\frac{34}{45}.
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最終更新：2011年10月28日 05:18