大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

94s5

大量のカードがあり，各々のカードに1,2,3,4,5,6の数字のいずれかの一つが書かれている．これらのカードから無作為に1枚をひくとき，どの数字のカードをひく確率も正である．さらに，3の数字のカードをひく確率はpであり，1,2,5,6の数字のカードをひく確率はそれぞれqに等しいとする．これらのカードから1枚をひき，その数字aを記録し，このカードをもとに戻して，もう1枚ひき，その数字をbとする．このとき，a+b≦4となる事象をA，a<bとなる事象をBとし，それぞれのおこる確率をP(A)，P(B)と書く．
(1)E=2P(A)+P(B)とおくとき，Eをp，qで表せ．
(2)\frac1pと\frac1qがともに自然数であるとき，Eの値を最大にするようなp,qを求めよ．
(1)
Aとなるのは(i)a=1,b=3 (ii)a,b≦2 (iii)a=3,b=1のときであるから，
P(A)=pq+(2q)(2q)+qp=pq+4q^2．
a<bとなる確率とa>bとなる確率は等しく，a=bとなる確率は4q^2+p^2+(1-4q-p)^2なので
P(B)=\frac12\left[1-\{4q^2+p^2+(1-4q-p)^2\}\right]=-10q^2-p^2+4q+p-4pq
従ってE=-2q^2-p^2+4q+p-2pq．
(2)
E=-2\left(q-1+\frac p2\right)^2+\frac{p^2}2-2p+2=-\left(p-\frac12-q\right)^2-q^2+5q+\frac14
であるから，p,qともに大きくなるほどEも大きくなる．
ここで，p+4q<1であることに注意すると，\left(\frac1p,\frac1q\right)=(2,9),(3,7),(5,6),(6,5)のうちのどれかがEの値を最大にする．
実際に代入して比較すると(計算が面倒なので省略)である．
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最終更新：2011年10月28日 08:21