大学入試数学過去問
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93s1

すべての面が合同な四面体ABCDがある．頂点A,B,Cはそれぞれx,y,z軸上の正の部分にあり，辺の長さはAB=2l-1,BC=2l,CA=2l+1 (l>2)である．四面体ABCDの体積をV(l)とするとき，次の極限値を求めよ．
\lim_{l\to2}\frac{V(l)}{\sqrt{l-2}}
各面の対角線の長さがそれぞれ2l-1,2l,2l+1となるような直方体を考えると，直方体の頂点のうち4点とABCDが重なる．
直方体の三辺の長さをa,b,cとしてa^2+b^2=(2l-1)^2,b^2+c^2=(2l)^2,c^2+a^2=(2l+1)^2であるとするとa=\sqrt{2l^2+1},b=\sqrt{2l^2-4l},c=\sqrt{2l^2+4l}．
よって\frac{V(l)}{\sqrt{l-2}}=\frac{abc}{3\sqrt{l-2}}=\frac{2l\sqrt{2l^2+1}\sqrt{l+2}}3\to8 (l\to2)．
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最終更新：2011年10月28日 17:02