大学入試数学過去問
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93s2

整数からなる数列\{a_n\}を漸化式a_1=1,a_2=3,a_{n+2}=3a_{n+1}-7a_n (n=1,2,…)によって定める．
(1) a_nが偶数となることと，nが3の倍数となることは同値であることを示せ．
(2) a_nが10の倍数となるための条件を(1)と同様の形式で求めよ．
(1)
mod 2で考える．
a_{n+3}\equiv a_{n+2}-a_{n+1}\equiv a_nであり，
a_1=1,a_2=3は奇数，a_3= 3a_2-7a_1=2は偶数．
従ってa_nが偶数⇔nが3の倍数．
(2)
mod 5で考える．a_nが5の倍数となるための条件を考える．
a_{n+4}\equiv3a_{n+3}-2a_{n+2}\equiv 7a_{n+2}-6a_{n+1}\equiv2a_{n+2}-a_{n+1}\equiv5a_{n+1}-4a_n\equiv a_n．
a_1,a_2,a_3は5の倍数ではなく，a_4=3a_3-7a_2=-15は5の倍数．
従って，a_nが5の倍数⇔nが4の倍数．
(1)の結果と合わせて，a_nが10の倍数⇔nが12の倍数．
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最終更新：2011年10月28日 17:28