93s5

1と0を5個ならべた列10110をある人が繰り返し書き写すとする．ただしこの列をSで表し，これの第1回の写しを $S_1$ で表すとき，第2回目に書き写すときは $S_1$ を書き写す． $S_1$ の写しを $S_2$ とするとき，第3回目には $S_2$ を書き写す．以下同様に続ける．
この人が0を1に写しまちがえる確率はp(0<p<1)であり，1を0に写しまちがえる確率はq(0<q<1)であるが，それ以外の写しまちがいはないものとする．第n回目の写し $S_n$ がSに一致する確率をC(n)とするとき，極限値 $\lim_{n\to\infty}C(n)$ を求めよ．

1を書き写してn回目に1である確率を $a_n$ とし， $\lim_{n\to\infty}a_n=a$ とおく．
$a_{n+1}=a_n(1-q)+(1-a_n)p$ であり， $n\to\infty$ として $a=\frac{p}{p+q}$ ．
同様に，0を書き写してn回目に0である確率 $b_n$ の極限値 $b=\frac{q}{p+q}$ ．
各桁が正しいかどうかは独立であるから， $C(n)=a_n^3b_n^2$ ．
従って $\lim_{n\to\infty}C(n)=a^3b^2=\frac{p^3q^2}{(p+q)^5}$ ．

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最終更新：2011年10月28日 18:04

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