大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

08s3

(1) 正八面体のひとつの面を下にして水平な台の上に置く。この八面体を真上から見た図(平面図)を描け。
(2) 正八面体の互いに平行な2つの面をとり、それぞれの面の重心をG_1，G_2とする。G_1，G_2を通る直線を軸としてこの八面体を1回転させてできる立体の体積を求めよ。ただし、八面体は内部を含むものとし、各辺の長さは1とする。
(1)
下の面の任意の2頂点の垂直二等分面に対して，この八面体は対称であり，とくに上の面も対称であることから，真上から見た場合，
上の面と下の面の中心は重なって見え，向きは同じ向きかπずれているかのいずれかであるが，明らかに同じ向きではない．頂点同士を結んで平面図を得る．
(2)
G_1G_2に垂直な面\alphaで切ると六角形が得られ，この六角形の中心Oからの距離が最大の点のうち一つをPとおくと，Pはこの六角形の頂点，すなわち，八面体の辺上の点である．
\alphaへの八面体の上面にも下面にも含まれない辺の射影は正六角形となる．この正六角形の辺のうちPのある辺へOから下ろした垂線の足をHとすると，OP^2=OH^2+HP^2．
この正六角形の一辺の長さは\frac1{\sqrt{3}}であるから，八面体の上面にも下面にも含まれない辺のG_1G_2への射影の長さは\sqrt{\frac23}．
G_1G_2の中点をMとおく．MO=xとしてHP=kxとかけるが，Pが上の面の頂点に一致するときを考えてk=\frac1{\sqrt{2}}．
従って求める体積は
2\pi\int\nolimits_0^{\frac1{\sqrt6}}\left(\frac14+\frac{x^2}2\right)dx=\frac{5\sqrt6\pi}6．
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最終更新：2011年11月01日 21:26