大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

08s6

座標平面において，媒介変数tを用いて，x=cos2t，y=tsint (0≦t≦2π)と表される曲線が囲む領域の面積を求めよ．
x=cos2tはtが0→\frac\pi2→π→\frac{3\pi}2→2πと変化するときに，1→-1→1→-1→1と変化する．
曲線のそれぞれの部分をy=f_n(x) (n=1,2,3,4)とおくと，
t=0,π,2πのとき(x,y)=(1,0)であり，これ以外のときf_m(x)>0>f_n(x) (m=1,2, n=3,4)であるから，
曲線の囲む面積SはS=\int\nolimits_{-1}^{1}(|f_1(x)-f_2(x)|+|f_3(x)-f_4(x)|)dx．
x=\cos2t \left(0<t<\frac\pi2\right)のとき，x=\cos2(\pi-t)=\cos2(\pi+t)=\cos2(2\pi-t)であり，
\frac\pi2\right<\pi-t<\pi<\pi+t<\frac{3\pi}2<2\pi-t．
これより，xをcos2tに置換して
S=\int\nolimits_{\frac\pi2}^0\left\{|t\sin t-(\pi-t)\sin(\pi-t)|+|(\pi+t)\sin(\pi+t)-(2\pi-t)\sin(2\pi-t)|\right\}(-2\sin 2t)dt
=-4\int\nolimits_{\frac\pi2}^0(\pi-2t)\sin t\sin2t dt=4\int\nolimits_0^{\frac\pi2}2s\cos t\sin2s ds \bigl(s=\frac\pi2-tに置換\bigr)
=\left[-\frac{16}3s\cos^3t\right]_0^{\frac\pi2}+\frac{16}3\int\nolimits_0^{\frac\pi2}\cos^3s ds =\frac{16}3\int\nolimits_0^1 (1-u^2)du=\frac{32}9.
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最終更新：2011年11月02日 01:18