07s2

n を2 以上の整数とする。平面上にn + 2個の点O, $P_0$ , $P_1$ , …, $P_n$ があり, 次の2 つの条件を満たしている。
① ∠ $P_{k-1}OP_k=\frac\pi n$ (1≦k≦n ) ,∠ $OP_{k-1}P_k$ = ∠ $OP_0P_1$ ( 2≦k≦n )
② 線分 $OP_0$ の長さは1, 線分 $OP_1$ の長さは $1+\frac1n$ である。
線分 $P_{k-1}P_k$ の長さを $a_k$ とし, $s_n=\sum_{k=1}^na_k$ とおくとき， $\lim_{n\to\infty}s_n$ を求めよ．

△ $OP_{k-1}P_k$ ∽△ $OP_{k}P_{k+1}$ で相似比は $1+\frac1n$ であるから $a_{n+1}=a_n\left(1+\frac1n\right)$ ．
よって $s_n=na_1\{1-\left(1+\frac1n\right)^n\}$ ．
余弦定理より $a_1^2=1+\left(1+\frac1n\right)^2-2\left(1+\frac1n\right)\cos\frac\pi n=\frac1{n^2}+\left(1+\frac1n\right)4\sin^2\frac\pi{2n}$ なので
$s_n=\sqrt{1+\pi^2\left(1+\frac1n\right)\frac{4n^2}{\pi^2}\sin^2\frac\pi{2n}}\{1-\left(1+\frac1n\right)^n\}\to \sqrt{1+\pi^2}(e-1)$ ．

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最終更新：2011年11月02日 13:08

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