大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

07s4

以下の問いに答えよ．
(1) 実数aに対し，2次の正方行列A, P, Qが5つの条件A=aP+(a+1)Q，P^2=P，Q^2=Q，PQ=O，QP=Oを満たすとする．ただしO=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}である．このとき(P+Q)A=Aが成り立つことを示せ．
(2) aは正の数として，行列A=\begin{pmatrix}a&0\\1&a+1\end{pmatrix}を考える．このAに対し，(1)の5つの条件をすべて満たす行列P,Qを求めよ．
(3) nを2以上の整数とし，2≦k≦nを満たす整数kに対してA_k=\begin{pmatrix}k&0\\1&k+1\end{pmatrix}とおく．行列の積A_nA_{n-1}A_{n-2}\cdots A_2を求めよ．
(1)
(P+Q)A=aP^2+(a+1)PQ+aQP+(a+1)Q^2=aP+(a+1)Q=A．
(2)
detA=a(a+1)>0なのでAは逆行列をもつ．(P+Q)A=Aに右からAの逆行列をかけてP+Q=E．これとA=aP+(a+1)QよりP=\begin{pmatrix}1&0\\-1&0\end{pmatrix}，Q=\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}．このとき，P,Qは(1)の条件を満たす．
(3)
A_nA_{n-1}A_{n-2}\cdots A_2
=\{nP+(n+1)Q\}\{(n-1)P+nQ\}\{(n-2)P+(n-1)Q\}\cdots(2P+3Q)
=n!P+\frac{(n+1)!}2Q=\begin{pmatrix}n!&0\\\frac{(n-1)n!}2&\frac{(n+1)!}2\end{pmatrix}．
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最終更新：2011年11月04日 23:09