大学入試数学過去問
大学入試数学過去問

07s6

以下の問いに答えよ
(1) 0<x<aをみたす実数x,aに対し，次を示せ．
\frac{2x}{a}&lt;\int\nolimits_{a-x}^{a+x}\frac{1}{t}dt&lt;x\left(\frac{1}{a+x}+\frac{1}{a-x}\right)
(2) (1)を利用して，次を示せ．
0.68<log2<0.71
ただし，log2は2の自然対数を表す．
(1)
中辺=f(x)とおくと，示すべき不等式はxf&#039;(0)&lt;f(x)&lt;xf&#039;(x).
x=0のとき各辺0となり等しくなることを考えると，各辺を微分したf&#039;(0)&lt;f&#039;(x)&lt;f&#039;(x)+xf&#039;&#039;(x) を示せば十分.
f&#039;&#039;(x)=\frac{1}{(a-x)^2}-\frac{1}{(a+x)^2}&gt;0 よりこれは成り立つ．
(2)
(x,a)=(1,5),(1,7)を代入したものから
0.4=\frac{2}{5}&lt;\log\left(\frac{6}{4}\right)&lt;\frac{1}{6}+\frac{1}{4}&lt;0.417,
0.28&lt;\frac{2}{7}&lt;\log\left(\frac{8}{6}\right)&lt;\frac{1}{8}+\frac{1}{6}&lt;0.292.
それぞれ加えて0.68<log2<0.709<0.71．
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最終更新：2012年07月09日 13:31